Guía de estudio: Lógica, conjuntos y relaciones (página 2)

OBSERVACIÓN: La mayor parte de los teoremas que aparecen en los textos escolares, se reducen a expresiones de la forma aún cuando no están enunciados en la forma "si, entonces".

Ejemplo: La siguiente proposición (teorema) "Los ángulos opuestos por el vértice son iguales"; enunciado en la forma "si, entonces" sería: Si los ángulos son opuestos por el vértice entonces son iguales.

OBSERVACIÓN: Dado el teorema teorema directo), existen varios teoremas asociados con él (teorema recíproco, teorema contrario y teorema contrarrecíproco).

• Teorema recíproco: es otro teorema cuya hipótesis es la tesis del primero.

Si es el teorema directo, entonces es el teorema recíproco.

("Si los ángulos tienen la misma amplitud entonces son opuestos por el vértice")

• Teorema inverso (contrario): Los que tienen como hipótesis y tesis proposiciones respectivamente contrarias.

Si es el teorema directo, entonces es el teorema contrario.

("Si los ángulos no son opuestos por el vértice entonces no tienen la misma amplitud")

• Teorema contrarrecíproco: es el teorema recíproco del inverso o contrario.

Si es el teorema directo, entonces es el teorema contrarrecíproco.

("Si los ángulos no tienen la misma amplitud entonces no son opuestos por el vértice")

OBSERVACIÓN: Cuando los enunciados directo y recíproco son verdaderos, podemos resumirlos en un solo enunciado con la expresión "si y solo si".

Ejemplo:

Teorema directo Si un cuadrilátero convexo es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son iguales.

Teorema recíproco: Si los lados opuestos de un cuadrilátero convexo son iguales, entonces este es un paralelogramo.

Como ambos teoremas son verdaderos se puede escribir utilizando la forma si y sólo si.

"Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo si y sólo si sus lados opuestos son iguales."

OBSERVACIÓN: Si son válidos el teorema directo y su recíproco, entonces estamos en presencia de una equivalencia y se dice que p es una condición necesaria y suficiente para que se cumpla q.

Ejemplo Una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero convexo sea un paralelogramo es que sus lados opuestos son iguales.

OBSERVACIÓN:

• a) La proposición p condición suficiente para la proposición q, si p?q es V.

• b) La proposición q condición necesaria para la proposición p, si q?p es V.

• c) Es posible afirmar que la proposición p es condición necesaria y suficiente para la proposición q, si p?q ^ q?p es V.

DIFERENCIAS ENTRE CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

En un teorema, de modo general: si se verifica H se verifica T, esto puede enunciarse de dos maneras:

1 – La hipótesis H es una condición suficiente para que se verifique la tesis T

2 – La Tesis T es una condición necesaria para que se verifique la hipótesis H

Ejemplo:

• 1) Si un punto está en la mediatriz de un segmento (H), equidista de sus extremos

Condición suficiente: Es suficiente que el punto esté en la mediatriz del segmento (H), para afirmar que equidista de sus extremos (T)

Condición necesaria: La equidistancia de los extremos (T) es condición necesaria para que el punto esté en la mediatriz (H).

• 2)  Sea el teorema directo: si n2 es par, entonces n es par, n(N (verdadero).

Esto puede expresarse en forma equivalente diciendo:

• a) Que n2 sea par es condición suficiente (pero no necesaria) para que n sea par.

• b) Que n sea par es condición necesaria (pero no suficiente) para que n2 sea par.

• c) n es par si n2 es par.

• d) n2 es par solo si n par.

El teorema recíproco del directo dado sería: si n es par entonces n2 es par (verdadero).

El teorema inverso: si n2 es impar (no es par) entonces n es impar (verdadero).

El teorema contrarrecíproco: si n es impar entonces n2 es impar (verdadero).

OBSERVACIÓN: El teorema del ejemplo anterior puede completarse como: n2 es par si y solo si n es par (verdadero)

EN RESUMEN:

Para formalizar en Matemática la demostración de muchas proposiciones que se presentan en la forma ó se tiene los siguientes casos:

es verdadera, o es verdadera, o ambas son verdaderas. Es decir:

1. Si es verdadera entonces se dice que p es condición suficiente para q.

2. Si es verdadera entonces se dice que p es condición necesaria para que q.

3. Si es verdadera entonces se dice que p es condición necesaria y suficiente para q (se dice p si y solo si q ó p ssi q).

TAREAS PARA DESARROLLAR EN TORNO A LA TEMÁTICA 3: TEOREMAS: DIRECTO, RECÍPROCO, CONTRARIO Y CONTRARRECÍPROCO.

Primeramente trata de rememorar los aspectos teóricos tratados en la sección anterior, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Qué proposiciones se le pueden asociar a la condicional p?q?

• ¿Cómo son la condicional y contrarrecíproca? y ¿la recíproca y la inversa? (en cada caso decir por qué)

• ¿Cuándo un teorema es recíproco, contrario y contrarrecíproco del teorema

• ¿Cuándo un teorema y su recíproco lo podemos enunciar con la expresión sssi?

TAREA 1: Forme el recíproco y el contrarrecíprocoo de la siguiente proposición y determine en cada caso su valor veritativo: a) Si este cuerpo es cobre, será electro – conductor.

TAREA 2: Diga cuál es la condición necesaria y cuál la suficiente, en la proposición dada del ejercicio anterior. Fundamente su respuesta.

TAREA 3: Escriba "es necesario", " es suficiente" o "es necesario y suficiente", según corresponda:

a) Para que un paralelogramo sea un cuadrado es _______ que sus diagonales se corten perpendicularmente y sean iguales.

b) Para que un animal sea un mamífero es _______ que tenga pelos.

d) Para que varíe la dirección de los rayos reflejados es ______ variar la posición del espejo.

e) Para que dos triángulos sean iguales es _______ que tengan dos lados respectivamente proporcionales.

TAREA 4: Dadas las siguientes proposiciones simbolice y redacte la recíproca, inversa y contrarrecíproca.

p: está lloviendo.

q: hay nubes en el cielo.

TAREA 5: En la escuela se estudia el siguiente teorema: La suma de las amplitudes de los ángulos adyacentes es 1800.

a) Escríbalo en la forma "si, entonces".

b) Enuncie su recíproco. c) ¿Es verdadero este recíproco? Fundamente.

TAREA 7: Para cada enunciado escriba su recíproco, contrario y su contrarrecíproco.

堠Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rombo.

堠Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.

堠Si una figura plana es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.

堠Si una figura plana es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.

堠Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.

堠Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

堠Si un triángulo es equilátero, entonces, es isósceles.

堠Si un triángulo es rectángulo, entonces, tiene dos ángulos agudos.

堠Si dos rectas distintas son paralelas, entonces, su intersección es el conjunto vacío.

TAREA 8: Cuál es la condición suficiente y la condición necesaria en la siguiente proposición: "Si un punto está en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos"

TAREA 9: Sean las proposiciones p: triángulo ABC es equilátero y q: el triángulo ABC es isósceles.

• a) Escriba la condicional en la forma "si entonces"

• b) Enuncie el recíproco e inverso.

• c) ¿Es p condición suficiente para q?.

• d) ¿Es q condición necesaria para p?.

• e) ¿Es posible afirmar que p es condición necesaria y suficiente para q?

TAREA 10: Indica en cuál de los siguientes casos p condición suficiente para q y en cuáles es condición necesaria y suficiente para q

p: A es múltiplo de 4

q: A es número par

b) p: A y B son pares

q: A +B es par

TEMÁTICA 4:

Conjuntos numéricos

El concepto CONJUNTO se considera primario, fundamental; o sea, no definible mediante otros. Su noción intuitiva se interpreta como: colección de objetos y constituye la base para la elaboración de los números naturales y también es la base para la elaboración de las operaciones de cálculo.

Ejemplo:

• 1. El conjunto de las vocales.

• 2. El conjunto de las soluciones de la inecuación x+3< 6 en N.

• 3. El conjunto de las letras del alfabeto español.

• Se llama cardinal de un conjunto A al número de elementos de dicho conjunto.

Ejemplo: El cardenal del primer conjunto del ejemplo anterior es cinco.

La teoría de conjuntos se debe al matemático Georg Cantor (1845-1918), ilustre matemático y lógico alemán, que vivió entre los siglos XIX y XX; aunque otros matemáticos como George Boole (1815-1864) dieron los primeros pasos para su desarrollo.

Los componentes individuales del conjunto se llaman elementos. Los conjuntos se denotan generalmente con letras mayúsculas del alfabeto latino, y sus elementos, con letras minúsculas.

• Conjunto Universo (U): Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

Ejemplo:

• U= {x/x es un animal}

A= {x/x es un mamífero}

B= {x/x es un reptil}

• En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

• En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo.

Formas de definir un conjunto:

• por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

• por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza, o sea, citando una propiedad que verifican todos sus elementos.

Formas de escribir un conjunto:

• En notación descriptiva: M: números naturales múltiplos de 3 mayores o iguales que 3 y menores que 12.

• En notación tabular M = {3, 6, 9} (escribiendo literalmente, encerrados entre llaves y separados por comas los símbolos que denotan los elementos del conjunto)

• En notación constructiva M = {x ( N/ x=3n , n(N, (entre llaves se coloca la condición que determina el conjunto)

OBSERVACIÓN:

• Según la cantidad de elementos, un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos.

• Conjunto Infinito: Conjunto de un número ilimitado de elementos.

• Conjunto finito, es el conjunto que tiene una cantidad finita de elementos, de lo contrario es infinito.

Ejemplo:

• El conjunto de las letras del alfabeto es finito

• El conjunto de los números naturales y el de todos los dominios numéricos es infinito.

• El conjunto de los puntos de una recta es infinito.

• El conjunto P = {x: x = 2n, n ( N}, es el conjunto de todos los números naturales que son pares, es un conjunto infinito y puede escribirse en notación tabular como P = {0, 2, 4, …}

Clasificación de los conjuntos finitos según la cantidad de sus elementos en: unitario, (de un solo elemento), binario, terciario奴c., nulo o vacío (carece de elementos).

Ejemplo:

• El conjunto M = {5, 10, 15, 20} es un conjunto finito de cuatro elementos.

• Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria:Sea A = {x / x2 = 4 Ù x es impar}.

• Relación de pertenencia: Es la relación que se establece entre elementos y conjuntos y se utilizan los símbolos ( (pertenece) y ( (no pertenece).

Ejemplo:

• Si un elemento x pertenece a un conjunto A, se denota a(A.

• Si un elemento x no pertenece a un conjunto A, se denota a(A.

OBSERVACIÓN:

• Pertenencia, se trata de una letra griega épsilon estilizada y fue utilizada por primera vez por Giuseppe Peano matemático y filósofo italiano (1858 – 1932) en 1985. Lo de escoger la épsilon es por ser la "e" la inicial de la palabra elemento. El elemento que se escribe a su izquierda se dice que "pertenece" al conjunto que se escribe a su derecha.

• Relación de Inclusión: Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si, cada elemento de A es un elemento de B. Se escribe A ( B. Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B.

Ejemplo:

• 1) Sea A = {Planetas del sistema solar} y B = {Marte, Tierra, Venus}, entonces, A ( B.

• 2)  N ( Z

• 3) Z ( Q

• 4) N ( Q

• 5) 

OBSERVACIÓN: El signo de inclusión es una variante del signo < ("menor que") introducida por Ernst Schr椥r matemático alemán (1841 – 1902) en 1890 para ser usada únicamente entre conjuntos y no entre números. El conjunto que se escribe a su izquierda se dice que "está incluido (o contenido) en" el conjunto que se escribe a su derecha.

Propiedades de la inclusión:

I.- Reflexiva: Para todo conjunto A, entonces se cumple que A ( A.

II.- Antisimétrica: Para todo par de conjuntos B y C, si B ( C, y C ( B entonces los conjuntos B y C son iguales, es decir B = C.

III.- Transitiva: Para todos los conjuntos D, E y F, si D ( E y E ( F, entonces se cumple que D ( F.

• Dos conjuntos son iguales si y solo si, todo elemento de uno es elemento del otro. Si A y B son dos conjuntos iguales, entonces se escribe A = B y se cumple que:

A ( B y B ( A.

Ejemplo: Sea A = {3, 5, 9, 15} y B = {9, 15, 3, 5} como tienen los mismos elementos aunque no estén escritos en el mismo orden, entonces A = B.

RELACIÓN DE EQUIPOTENCIA.

• Si dos conjuntos E y F (finitos) tienen la misma cantidad de elementos, son equipotentes. Notación: E~ F

OBSERVACIÓN: Si dos conjuntos son iguales, entonces son equipotentes, el recíproco no es verdadero.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

• Intersección de conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Se escribe

Se escribe A ( B y se cumple que A ( B = B ( A.

FORMALMENTE:

Representación gráfica de la intersección de conjuntos.

Ejemplo: Sea U= A= B=

OBSERVACIÓN: Diremos que A y B son disjuntos si (conjuntos cuya intersección es vacía)

• Unión de conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a ambos. Se escribe AUB

FORMALMENTE:

Ejemplo: Sea U= A= B=

AUB= BUA= ,

• Diferencia de conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se escribe A B.

Se puede definir la diferencia A B de dos conjuntos A y B de E, así:

FORMALMENTE: A B =

Ejemplo:

• Conjuntos complementarios: Sea A un conjunto incluido en otro conjunto B, la diferencia A B se llama complemento de A con respecto a B.

OBSERVACIÓN: Cuando no se especifica respecto a qué conjunto es la complementación, se sobreentiende que es respecto al conjunto universo (U).

FORMALMENTE: AC=UA. (El complemento de un conjunto A respecto al universo U es el conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen al conjunto A.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

• AUB= BUA (Propiedad conmutativa de la unión de conjuntos)

• (Propiedad conmutativa de la intersección de conjuntos)

• Asociatividad de la unión: A ( (B ( C) = (A ( B) ( C.

• Asociatividad de la intersección: A ( (B ( C) = (A ( B) ( C.

• A ( ( = A; A ( ( = A.

• A ( (A ( B); (A ( B) ( A; B ( (A ( B); (A ( B) ( B.

• A ( U = U.

• A ( U = A.

• Si A ( B, entonces A ( B = B y A ( B = A.

• Uc = ( ó U U = (.

• (c = U.

• (Ac)c = A ó U (U A) = A.

• Distributividad de la unión respecto a la intersección:

A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C).

• Distributividad de la intersección respecto a la unión:

A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C).

• Leyes de D" Morgan:

(A ( B)C = Ac ( Bc

(A ( B) C = Ac ( Bc

TAREAS PARA DESARROLLAR EN TORNO A LA TEMÁTICA 4: CONJUNTOS NUMÉRICOS.

Primeramente trata de rememorar los aspectos teóricos tratados en la sección anterior, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Cuáles son las formas de escribir un conjunto?

• ¿Puede un elemento ser subconjunto de un conjunto?

• ¿Cuáles operaciones están definidas entre conjuntos? ¿Cómo se interpreta cada una?

TAREA 1: ¿Por qué es denso el conjunto de los números fraccionarios? Ejemplifique.

• a) ¿Es denso el conjunto de los números naturales? Fundamente.

TAREA 2: Escriba en forma tabular y constructiva, el conjunto de los números enteros del uno al nueve.

TAREA 3: Sea M: el Conjunto de los números naturales pares menores que 10. Escríbalo en notación tabular y constructiva.

TAREA 8: Escribe en forma tabular:

TAREA 4: Escriba en notación tabular los conjuntos E y F, de modo que se cumpla que: ; F = y

TAREA 5: Dados los conjuntos E= y F=

Calcule: a) b) E F c)

TAREA 6: Escriba en notación tabular los conjuntos E y F, de modo que se cumpla que: ; F = y

TAREA 7: Representa gráficamente los siguientes intervalos:

a) b) c)

TAREA 8: Escribe en notación constructiva los siguientes intervalos:

a) b) c)

TAREA 9: Dados los siguientes conjuntos:

F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero.

G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero.

H: El conjunto de números de cuatro cifras, dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero.

Determine todas las posibles relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H.

TAREA 10: Representa los siguientes conjuntos usando la notación de intervalos:

a) El intervalo que comprende los valores reales, mayores que –5 y menores que 7.

b) El conjunto de valores mayores o iguales a – 4 y menores que cero.

TAREA 11: Escribe los siguientes conjuntos en forma constructiva:

a) Conjunto de todos las x tales que x es mayor que 5.

b) Conjunto de todos las x tales que x sea igual a 5 ó mayor que 5.

c) Conjunto de todos las x tales que x sea menor que -2 ó mayor que 4.

TAREA 12: Dados los siguientes conjuntos de figuras del plano:

Q = {x | x es un cuadrilátero} H = { x | x es un rombo }

R = { x | x es un rectángulo } S = { x | x es un cuadrado}

Diga qué conjuntos son subconjuntos propios de los otros.

TAREA 13: En cada caso halla

a) Sea

b) Sean p y s dos rectas paralelas.

Sea A= Conjunto de puntos de la recta p B= Conjunto de puntos de la recta s

TAREA 14: En una entrevista a un grupo de médicos cubanos estos manifestaron que cada uno de ellos había participado al menos en una misión internacionalista en el continente africano o en América Latina. En los países de África cumplieron misión 26 de ellos, mientras que 23 cumplieron misión en América Latina. Si 19 de ellos participaron en ambos continentes, determina el número de médicos que solo ha participado en uno de los dos continentes y el total de médicos.

TAREA 15: En un grupo de 22 jóvenes se realizó una encuesta sobre sus preferencias para el empleo del tiempo libre, de la cual se obtuvo que 9 de ellos gustan del teatro, 13 de la televisión y 10 del cine. Sin embargo, solo gustan de la televisión 5 jóvenes, mientras que a tres les gustan las tres opciones, pero por otra parte, 4 de ellos gustan del teatro y de la TV y solo a dos les gusta el teatro y el cine.

• a) ¿A cuántos de estos jóvenes, solo les gusta el teatro?

• b) ¿A cuántos les gusta solamente la TV y el cine?

• c) ¿A cuántos jóvenes del grupo seleccionado no les gustan estas opciones recreativas?

TEMÁTICA 5:

Producto cartesiano. Relaciones binarias

Sea a un elemento del conjunto A (x A) y b un elemento del conjunto B (b B):

• Definición El conjunto {{a}, {a, b}} se denomina entonces par ordenado (a, b)

OBSERVACIONES:

Si a?b, entonces (a, b) ? (b, a)

• El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, en honor a su inventor, René Descartes (1596-1650) es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) con x A e y B, o sea, todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto a y un elemento del conjunto B.

FORMALMENTE: A נB = {(x, y): x A e y B } , y se lee A cruz B ó A por B

CONSECUENCIA: (x, y) ΠA x B ۠x ΠA Ù y ΠB

(x, y) ϠA x B ۠x ϠA Ú y ϠB

Si A =A, entonces se puede considerar el producto cartesiano de A por sí mismo, o sea:

A x A = A2

OBSERVACIÓN: Haciendo un análisis se advierte que desde el punto de vista de las operaciones se puede considerar al signo "x" como una nueva operación entre los conjuntos A y B, que da como resultado un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados.

Ejemplo 1: Si A = {1,2} y B ={x, y, z}, entonces:

AxB = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}

Ejemplo 2: Determina el producto cartesiano de M= {1, 2, 5}, N = { 2, 3,4}

Solución: M x N = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (5,2), (5,3), (5,4)}

Observar que el cardenal, o sea, número de elementos (pares ordenados) del producto cartesiano es el producto de los cardenales de los conjuntos: |A נB| = |A|缂|.En el ejemplo 1, A x B tiene 2 x 3 = 6, seis pares ordenados.

En el ejemplo 2: M x N tiene 3 x 3 = 9, nueve pares ordenados.

OBSERVACIÓN:

• a) 

• b) 

Propiedades del producto cartesiano:

Sean: A , B , C , D conjuntos, entonces:

1. Si y entonces

2.

Leyes distributivas del producto cartesiano con respeto a la unión, intersección y diferencia

3.

4.

5. (A n B) נC = (A נC) n (B נC)

6. C x (A n B) = (C נA) n (C נB)

7. (A – B) נC = (A נC) – (B נC)

8. C נ(A – B) = (C נA) – (C נB)

Ejemplo de demostración de la propiedad 5. (A n B) נC = (A נC) n (B נC)

a) Sea (x, y) ? [(A n B) נC] ? x ? (A n B) y ? C Consec. def. pcto. Cartesiano

? (x ? A x ? B) y ? C Consecuencia def. de intersección ()

? (x ? A y ? C) (x ? B y ? C) Equiv. Ley distrib.

? (x, y) ? (A נC) (x, y) ? (B נC) Consec. def. pcto. Cartesiano

? (x, y) ? [(A נC) n (B נC)] Consecuencia def. de intersección ()

luego (A n B) נC = (A נC) n (B נC)

OBSERVACIÓN: En general el producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa ni la asociativa.

A x B ? B x A y (A x B) x C? A x (B x C).

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {a, i} entonces:

A X B = { (a,a), (a,i), (b,a), (b,i), (c,a), (c,i)}

B X A = {(a,a), (a,b), (a,c), (i,a), (i,b), (i,c)}

Representación gráfica del producto cartesiano:

Sea. A= { 1, 2} y B= { 3,4, 5}, el producto cartesiano es:

A x B = {(1, 3), (1,4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

APLICACIÓN DEL PRODUCTO CARTESIANO: Con ayuda del producto cartesiano puede definirse, por ejemplo, la multiplicación de dos números naturales.

Ejemplo: El producto de 2 y 3, puede definirse como el número de elementos del producto cartesiano A x B, siendo a un conjunto cualquiera de dos elementos y B un conjunto cualesquiera de tres elementos.

RELACIÓN BINARIA:

Asociado al concepto producto cartesiano está el concepto de relación binaria o de dos lugares.

• Definición: Se llama relación a todo conjunto de pares ordenados.

• Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos, una relación binaria es un par ordenado (AxB, R) donde R ( A x B. O sea, R es un subconjunto del producto cartesiano A x B.

FORMALMENTE: R A נB = {(a, b) / a ? A y b ? B}.

Ejemplo 3:

Sean los conjuntos R = {(1, b); (2, a); (3, b); (1, a)} A={1, 2 , 3} B={a, b}

¿Es R es una relación binaria de A en B?

Por definición para que r sea una relación binaria de A en B, el conjunto r debe de estar incluido en A x B.

A x B= {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

• Dominio de la relación binaria: El dominio de la relación es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de R.

• Imagen de la relación binaria: La imagen de la relación es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de R y se denota por D(R).

Ejemplo 4: Consideremos el conjunto P formado por todos los alumnos del aula donde estudias y el conjunto Q formado por todos los profesores que imparten clases en el aula donde estudias y la relación R formado por las alumnas del aula donde estudias y que están recibiendo clases de Matemática, el dominio será el conjunto formado por las alumnas del aula que están recibiendo clases de Matemática y la imagen será el conjunto formado por el profesor (la profesora) de Matemática.

OBSERVACIÓN: Una relación binaria sobre un conjunto E puede ser una relación de equivalencia, pero para que esto ocurra la misma debe cumplir tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Basta que no se cumpla una de estas propiedades, para que la relación no sea de equivalencia.

• Relación reflexiva en un conjunto: R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo.

FORMALMENTE: R es reflexiva en A si y sólo sí, R Ì A x A Ù (? x ΠA) ((x, x) ΠR).

R no es reflexiva en A si y sólo si, R ˠA x B Ú (? x ΠA) ((x, x) ϠR).

Ejemplo: Sea A = {1, 3, 5}.

R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.

O sea: R1 Ì A x A Ù (? x ΠA) ((x, x) ΠR).

A x A= {(1, 1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5, 3), (5, 5)}

R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.

R2 Ì A x A, pero (3, 3)?? R2

• Relación simétrica en un conjunto: R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x, y de A se verifica que si "x R y" entonces "y R x". En consecuencia:

• R es simétrica en A ۠R Ì A x A Ù (? x) (? y) (x R y ޠy R x).

• R no es simétrica en A ۠R ˠA x A Ú (? x) (? y) (x R y Ù y R x).

Ejemplo: Sea A = {3, 4, 2} entonces:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.

• Relación transitiva: R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que: Sí xRy e yRz, entonces xRz.

Ejemplo: En el conjunto de las rectas de un plano se define la relación R "es paralela a". Esta relación cumple la propiedad transitiva, ya que si de entre las rectas del plano se eligen tres rectas r, p, s y se cumple que: r es paralela a p, y a su vez p es paralela a s, entonces se cumple que r es paralela a s.

TAREAS PARA DESARROLLAR EN TORNO A LA TEMÁTICA 5: PRODUCTO CARTESIANO. RELACIONES BINARIAS.

Primeramente trata de rememorar los aspectos teóricos tratados en la sección anterior, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Por definición qué es el producto cartesiano de dos conjuntos?

• Si A x B contiene seis elementos ¿cuántos elementos pueden contener A y B?

• ¿Cómo se define la operación unión de conjuntos?

• ¿Cómo se define la operación intersección de conjuntos?

• Sean los conjuntos A y B ¿Cuándo R es una relación binaria de A en B?

TAREA 1: Explique la diferencia principal entre un par ordenado (a, b) y el conjunto {a, b} con dos elementos.

TAREA 2: Sean: M = {-1,0, 1, 2} y N = {2, 3, 4}

Determine y represente en el plano cartesiano los siguientes conjuntos:

M נN; N x M; M x {0}; {1} x N

TAREA 3: Sean:

Determine y represente en el plano cartesiano los siguientes conjuntos:

A x {0}; A נB; B x A; {1} x B

TAREA 4: Considere los conjuntos A = {a, b, c}, B = {2, 3, 4} y C = {3, 4, 5}. Hallar:

a) A נ(B n C) b) (A נB) n (A נC)

TAREA 5: Demuestre que

TAREA 6: Sea A = {1, 2, 3}. Señale qué tipos de relaciones corresponde cada una de las siguientes relaciones en A:

R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.

R2 = {(1, 1)}.

R3 = {(1, 2)}.

R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

TAREA 7: Dado el conjunto F x G = {(-1;0), (-1;1), (-1;2), (-1;3), (0;0), (0;1), (0;2), (0;3)} . Complete:

a) F = {——————}.

b) G = {————–}.

c) (FxG) ( (GxF) = {———-}.

TAREA 8: Analiza las relaciones siguientes e indica cuál es Reflexiva, Simétrica y Transitiva en A = {a, b, c, d, e}. Fundamente su respuesta.

• R1= {(a, a),(b, b),(a, c), (b, c), (c, a), (d, d)}

• R2= { (a, a),(a, d),(c, b), (d, a), (c, e), (e, e)}

• R3= { (a, a),(b, b),(c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (b, a)}

• R4 = { (a, 1),(a, 2),(c, 2)}

• R5= { (a, c),(a, e),(e, c), (b, c)}

• R6= { (a, a),(b, b),(c, c), (d, d), (e, e), (a, e), (b, c), (c, b), (e, a)}

• R7= { (a, b),(b, d),(c, a), (d, e), (e, c), (b, c), (b, a)}

TAREAS SOBRE EL TEMA

Primeramente trata de rememorar aspectos teóricos tratados en el tema, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Qué proposiciones se le pueden asociar a la condicional p?q?

• ¿Cuándo un teorema es recíproco, contrario y contrarrecíproco del teorema

• ¿Cuándo un teorema directo y su recíproco se pueden enunciar utilizando la expresión condición necesaria y suficiente? ¿y utilizando en la forma "si y solo si"?.

• ¿Qué sucede con la condicional de proposiciones si la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa?.

• ¿De qué depende que la conjunción de dos proposiciones sea verdadera?

• ¿Cuándo la disyunción de dos proposiciones es falsa?

• ¿Por definición a qué llamamos diferencia de conjuntos? ¿e intersección de conjuntos?.

• ¿Por definición a qué llamamos producto cartesiano de dos conjuntos?.

• Sean los conjuntos A y B ¿Cuándo R es una relación binaria de A en B?

• ¿Cuándo una relación binaria es de equivalencia? ¿y de orden?

TAREA 1: Escriba formalmente el recíproco, contrario y contrarrecíproco de una condicional de proposiciones e ilustre su interpretación de cada una a través de un ejemplo.

TAREA 2: En la escuela se estudia el siguiente teorema: Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a) Escríbalo en la forma "si, entonces".

b) Enuncie su recíproco.

c) Escriba los teoremas directo y recíproco en un solo enunciado con la expresión "si y solo si".

TAREA 3: Dado el siguiente teorema:

Si un cuadrilátero convexo es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son iguales.

• a) Determine la hipótesis y la conclusión.

• b) Enuncie su recíproco.

• a) Escriba los teoremas contrario y contrarrecíproco. ¿Es verdadero el contrario?. Fundamente.

• b) Enuncie el teorema en la forma condición necesaria y suficiente.

TAREA 4: Dado el siguiente texto: Si se reduce el volumen de un gas a temperatura constante, aumenta la presión que éste ejerce sobre las paredes del recipiente.

• a) A qué ley hace referencia el texto.

• b) Identifique premisa y conclusión.

• c) Efectúe la formalización lógica.

TAREA 5: Se sabe que: Si Pedro no es alumno de la especialidad Matemática Física o Juan es alumno de la especialidad Matemática Física, entonces Juan es alumno de la especialidad Química Biología. Si Pedro es alumno de la de la especialidad Matemática Física y Juan no es alumno de la de la especialidad Química Biología, entonces Juan es alumno de la de la especialidad Matemática Física. ¿En qué universidad estudia Juan?.

TAREA 6: Analiza el siguiente enunciado: " Si tengo dinero, entonces, iré al cine; o, no pago el campismo y voy a la playa. Si y solo sí, si voy a la playa, entonces, tengo dinero".

• a) Denota con las letras p, q y r las proposiciones por las que está compuesto.

• b) Escribe el enunciado mediante símbolos lógicos.

• c) Construya su tabla de verdad.

TAREA 7: En un aula hay un cierto número de alumnos que hemos de determinar. Se sabe que cada uno de los alumnos presentes en el aula estudia, al menos, una de las tres asignaturas: Matemática, Física, química. Pues bien, en sucesivas veces se pide que levanten la mano los que estudian:

• a) Matemática y lo hacen 48.

• b) Física, y lo hacen 45.

• c) Química, y lo hacen 49.

• 1. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

• 2. ¿Cuántos estudian Matemática y Física, pero no Química?

• 3. ¿Cuántos estudian nada más que Química?

TAREA 8: Construya la tabla de verdad de la siguiente expresión lógica:

TAREA 9: Sea el conjunto formado por todos los obreros que trabajan en la industria petrolera cuyas edades están comprendidas entre 32 y 46 años y el conjunto formado por todos los obreros que trabajan en la industria petrolera cuyas edades están comprendidas entre 27 y 38 años.

a) ¿Cuál es el conjunto diferencia?

TAREA 10: Considere los siguientes intervalos:`= [-3, 3]; C = [-1, 4]; D = (-4,5].࠼/font>

Represente en la recta real y escriba con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:ࡼb>) A U Dࠠࠠࠠࠠ༢>b) A n Cࠠ

TAREA 11: Demuestre que C x (A n B) = (C נA) n (C נB)

TAREA 12: Sean:

Determine y represente en el plano cartesiano B x A

TAREA 13: Dados los conjuntos:

M = {x ( R: x ( 12}, N = {x ( R: x ( 4} P = {x ( R: -4 ( x ( 5,6}

Determina:

a) M ( N b) M ( N c) M N d) M ( N ( P e) M ( N ( P

TAREA 14: Considere los conjuntos A = {a, b, c} y B = {2, 3, 4} y C = {3, 4, 5}. Hallar:

a) A נ(B n C) b) (A נB) n (A נC)

TAREA 15: Escriba formalmente el producto cartesiano de dos conjuntos e ilustre su interpretación a través de un ejemplo.

TAREA 16: Demuestre a través de un ejemplo que el producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa.

TAREA 17: Escriba formalmente el concepto de relación binaria e ilustre su interpretación a través de un ejemplo.

TAREA 18: Determine cuáles de las siguientes son relaciones de A= {a, b, c} en B= {1, 2} y fundamente su respuesta:

a) R1= {(a,1),(a, 2),(c, 2)} b) R2= {(c, 1), (c, 2)} c) R3= {(a, 2), (b, 1)}

TAREA 19: Consulte sobre la vida y obra de George Boole y elabore un breve resumen de media cuartilla con datos de interés.

TAREA 20: Consulte sobre la vida y obra de George Cantor y elabore un breve resumen de media cuartilla con datos de interés.

TAREA 21: Consulte sobre la vida y obra de René Descartes y elabore un breve resumen de media cuartilla con datos de interés.

Autoras:

Graciela Abad Peña[1]

Katia Lisset Fernández Rodríguez[2]